Лауреат Премии Израиля по математике: «Больше всего на свете я люблю решать задачи»

«Больше всего на свете я люблю решать задачи». Так, с озорной улыбкой и большой скромностью, лауреат Премии Израиля в области математики за 2025/26 год (ташпа-вав), профессор Биньямин (Бенджи) Вайс, описал то, что каждое утро побуждает его, даже в возрасте 85 лет и в разгар войны, идти на работу в маленький кабинет, заполненный от стены до стены книгами и сборниками статей, на цокольном этаже Института математики имени Эйнштейна в Еврейском университете в Иерусалиме.

Важность работы с людьми неоднократно упоминалась в интервью, которое я провел с ним по случаю получения награды. Эта тема возникала так часто, что трудно уследить за списком многочисленных математиков, с которыми он работал и которым он неизменно отдавал щедрое и подробное признание. Даже когда я спросил его о личном значении получения премии, он ответил: «То, что я порадовал семью, свою жену. Я их очень порадовал».

Биньямин Вайс родился в 1941 году в Нью-Йорке в семье Пнины и Авраама Вайса, который был одним из ведущих исследователей Талмуда в двадцатом веке. Уже в детстве он влюбился в математику и параллельно с учебой в средней школе посещал академические курсы по математике в «Иешива-университете», известном еврейском университете в Нью-Йорке. Затем он продолжил там обучение на первую и вторую степени.

Свой успех в математике он приписывает, среди прочего, видению ведущих математиков, преподававших тогда в Иешива-университете, среди которых были Икутиэль Гинсберг и Авраам Гельбарт. Они настаивали на высоком уровне обучения математике, а Гельбарт пошел еще дальше и пригласил ведущих еврейских математиков Нью-Йорка тех дней читать продвинутые курсы в учебном заведении. Среди прочих там читали лекции Джесси Дуглас, который был одним из двух первых лауреатов престижной медали Филдса и был приглашен вести курс по вариационному исчислению; математик и раввин Леон Эренпрайс; физик Джоэл Лебовиц, один из важнейших исследователей в области статистической физики; и Герман Голдстайн, математик и специалист в области компьютерных наук, исследователь из Принстонского университета и один из руководителей компании IBM, участвовавший в создании первых в мире компьютеров.

Уровень курсов был достаточно высок, чтобы Вайсу не потребовалось никакой подготовки к вступительным экзаменам в докторантуру Принстонского университета. Он легко поступил и написал докторскую диссертацию под руководством Уильяма Феллера, одного из важнейших исследователей в области теории вероятностей. В 1965 году он завершил третью степень и был принят на работу в IBM. Спустя два года он репатриировался в Израиль и присоединился к штату Еврейского университета в Иерусалиме.

На протяжении многих лет он также был приглашенным исследователем в Стэнфордском университете, в исследовательском подразделении IBM и в Институте математических наук Саймона Лауфера. Его исследования охватывали множество разнообразных областей, таких как теория информации, теория меры, динамические системы, эргодическая теория и теория вероятностей. За эти годы он опубликовал более 220 профессиональных работ, которые получили множество цитирований в трудах коллег. Он был избран почетным членом Американской академии искусств и наук, был лауреатом премии Ротшильда и служил профессиональным консультантом системы безопасности.

Среди его известных учеников — математик Элон Линденштраусс из Еврейского университета и Принстона, лауреат медали Филдса 2010 года, и Итай Беньямини, возглавляющий факультет математики и компьютерных наук в Институте Вейцмана.

В сообщении о присуждении ему Премии Израиля члены отборочной комиссии написали, что Вайс является «одним из величайших исследователей в области динамики, столпом математического сообщества, воспитавшим поколения исследователей в Израиле и во всем мире. Его глубокие исследования, охватывающие более шестидесяти лет деятельности и более двухсот статей, заново определили математическое понимание феномена случайности в детерминированных системах».

Кроме того, в сообщении упоминалась его работа с Дональдом Орнштейном по развитию эргодической теории аменабельных групп, его совместная работа с лауреатом Премии Израиля по математике Гиллелем Фюрстенбергом, связавшая динамику и комбинаторику, фундаментальные работы, написанные им в области символической динамики, и определение софических групп (Sofic groups), которое стало «одной из самых активных и инновационных тем в современной математике».

Вклад Вайса в математические исследования необычаен по своей глубине и широте охвата, объединяющему многие области, особенно в сферах динамики и статистики. «Бенджи Вайс — фигура очень, очень центральная. Любой, кто делает что-то в этой области или близко к ней, приходит поговорить с ним», — рассказывает его коллега Яир Хартман из Университета Бен-Гуриона в Негеве.

Одно из самых влиятельных исследований Вайса представлено в его статье 1972 года о случайных процессах, ставшей результатом совместной работы с Дональдом Орнштейном из Стэнфордского университета. В 1970 году Орнштейн обнаружил, что если два простых случайных процесса, таких как подбрасывание монеты (процессы Бернулли), имеют одинаковый уровень случайности, то даже если они выглядят очень разными, их можно описать так, что они будут вести себя одинаково со статистической точки зрения.

Возьмем, к примеру, подбрасывание монеты. Если мы будем подбрасывать монету снова и снова, мы получим случайную последовательность результатов. По всей видимости, при каждом подбрасывании монеты мы можем знать, каким будет результат, благодаря законам ньютоновской физики: все, что нужно, — это ввести в уравнения точные значения силы, которую мы прикладываем к монете, угол броска, положение монеты на руке и другие переменные. Но поскольку начальные условия очень чувствительны, то есть любое небольшое изменение одной из переменных может изменить результат, с любой практической точки зрения мы не можем его предсказать, и он кажется нам случайным.

В статьях, опубликованных в семидесятые годы, Вайс и Орнштейн распространили это явление на многие другие системы. Они показали, что детерминированные системы могут служить моделями для случайных процессов, и значительно развили и расширили математические идеи и инструменты, используемые в этой области, с помощью таких понятий, как энтропия и аменабельные группы.

Вайс глубоко исследовал динамические системы, то есть системы, описывающие пространство состояний с законом, определяющим, как они будут развиваться во времени. Вайс является одним из тех, кто заложил краеугольные камни эргодической теории и топологической динамики в их современном воплощении. Наряду с Гиллелем Фюрстенбергом, Эли Глазнером и другими он глубоко исследовал эти области, разрабатывал теории, доказывал гипотезы и находил удивительные связи между областями — а также между ними и теорией вероятностей. По его словам, эргодическая теория и теория вероятностей — это две стороны одного и того же.

Заманчиво спросить, каковы практические последствия его работы, но этому вопросу нет места, когда речь идет о чистой математике. «Когда я разговариваю с не-математиками, я объясняю им, что математика — это очень большое здание, из которого все науки время от времени берут какой-нибудь маленький кирпичик и творят с его помощью чудеса. Нередко физические результаты математических исследований видны только через сто лет и более», — говорит Вайс.

Например, поясняет Вайс, в 1917 году австрийский математик Иоганн Радон разработал преобразование Радона. Спустя десятилетия этот математический инструмент был использован для восстановления трехмерного изображения из множества двухмерных рентгеновских снимков в аппарате КТ.

Вайс любит сложные вопросы и еще больше наслаждается их решением. Откуда в итоге приходит решение? «Ни я, ни кто-либо другой не знает», — искренне отвечает он. «Я работаю, как и многие другие. Я больше склонен пробовать проверять частные случаи, а затем обобщать. Когда мне говорят: "докажи икс", мой первоначальный инстинкт — не верить, что это правда, и тогда я ищу контрпример. Иногда бывает и другая реакция. Мне говорят: "докажи это", и тогда я говорю: "о, это просто". А потом я пытаюсь это доказать и вижу, что это не так уж просто».

Исследования Вайса помогли сформировать математические идеи случайности, информации и паттернов, которые сегодня лежат в основе частей современной технологии искусственного интеллекта. Сам Вайс впечатлен значительным развитием этой области в последние годы, особенно возможностями генеративного искусственного интеллекта. Уже 40 лет он ведет семинар по решению задач для студентов магистратуры. Цель семинара — развить у студентов независимое мышление. Теперь Вайс опасается, что, поскольку у студентов есть удобный доступ к инструментам искусственного интеллекта, они будут использовать их таким образом, что им будет трудно развить независимое мышление.

Недавно Вайс проверил, умеют ли модели искусственного интеллекта решать такие задачи, и к своему удивлению обнаружил, что Gemini, языковая модель компании Google, сумела решить одну из задач. Но затем он обнаружил, что Gemini хотя и нашла правильное решение, представленное ею доказательство было ошибочным. Выяснилось, что чат-бот нашел решение в статье, которую Вайс не знал, а затем сам составил доказательство к решению. «Gemini не понял доказательства, — объясняет Вайс, — но он не понял, что он не понимает».

Вайс очень осторожен в прогнозах относительно будущего искусственного интеллекта. По его словам, математики уже сейчас пользуются помощью искусственного интеллекта, и он думает, что в будущем, возможно, модели ИИ смогут писать не очень оригинальные статьи. При этом он не может представить ситуацию, в которой они смогут разрабатывать инновационные и революционные концепции. Он подчеркивает, что даже в эпоху технологического превосходства человеческое стремление решать задачи не исчезает.

На мой вопрос «что нужно ученикам, чтобы хорошо учить математику?» у Вайса есть четкий ответ. «Все, что им нужно, — это хорошие учителя и много терпения, потому что, особенно у хороших учеников, невозможно выучить математику в последний момент перед экзаменом, нужно практиковаться. В математике важно быть точным. Даже если вы поняли упражнение и знали, как его решить, достаточно маленькой ошибки, чтобы привести вас к неверному решению. Все зависит от учителей, а не от тех или иных учебных программ. Все, что я могу сказать, — это то, что необходимо инвестировать в учителей».